Probabilitatea eta propietateak

Probabilitatea. Fenomeno edo saiakuntza batean gertaera jakin bat gauzatzen den kasuen (aldeko kasuen) eta beha daitezkeen gertaera edo kasu guztien arteko zatidura da eta, gainera, Laplace-ren legea jarraitzen duela esaten da. (Probabilitateak gehienez 1 balioa hartzen du, eta inoiz ere gauzatzen ez bada, 0 balioa)

• 0­­<=P(A)<=1
• P(A)=1 – P(A’)
• P(Ø)=0
• P(A U B)=P(A)+P(B)-P(A ∩ B)
• P(A’ U B’)=P((A ∩ B)’)=1-P(A ∩ B) eta P(A’ ∩ B’)=P[(A U B)']=1-P(A U B)
• P(A ∩ B’)=P(A)-P(A ∩ B)

Ondoren, gaiari lotutako ariketa batzuk.

1. Hau dakigu A eta B gertaerari buruz: P(A)=0,4; P(B)=0,5 eta P(A’∩ B’)=0,3. Aurkitu P(A U B) eta P(A ∩ B).
2. A eta B gertaerari buruz, hau dakigu: P(A)=2/5, P(B)=1/3 eta P(A’ ∩ B’)=1/3. Aurkitu P(A U B) eta P(A ∩ B).
3. A eta B probabilitate espazio bateko bi gertaera dira eta ondorengoa betetzen dute: P(A)=0,4; P(B)=0,3 eta P(A ∩ B)=0,1. Kalkulatu arrazoituz:
   a) P(A U B)
   b) P(A’ U B’)
   c) P(A/B)
   d) P(A’ ∩ B’).
4. A eta B ondorengoa betetzen duten bi gertaera dira: P(A U B)=3/4, P(B’)=2/3 eta P(A ∩ B)=1/4. Aurkitu P(B), P(A), P(A’ ∩ B).
5. A eta B ondokoak betetzen dituzten bi gertaera dira: P(A)=3/8, P(B)=5/8 eta P(A U B)=3/4. Kalkulatu P(A/B) eta P(B/A)
6. Demagun P(A U B)=7/8, P(A ∩ B)=1/4 eta P(A’)=5/8 direla. Kalkulatu P(A), P(B) eta P(A ∩ B’).
7. Demagun P(A)=1/2, P(A U B)=3/4 eta P(B’)=5/8 direla. Kalkulatu P(A ∩ B), P(A’ ∩ B’), P(A’ U B’) eta P(B ∩ A’).
8. Demagun P(A)=1/3, P(B)=1/4 eta P(A U B)=1/2 direla. Kalkulatu P(A/B), P(B/A), P(A ∩ B’) eta P(A/B’).
9. Demagun P(A)=3/8, P(B)=1/2 eta P(A ∩ B)=1/4 direla. Kalkulatu P(A U B), P(A’), P(B’), P(A’ ∩ B’), P(A ∩ B’) eta P(A’ ∩ B).
10. A eta B gertaerak ondokoa betetzen dute: P(A)=1/4, P(B)=2/5 eta P(A ∩ B)=3/20. Kalkulatu P(A) + P(B), P(A+B), P(A+B’).
11. Hiri batean hiru egunkari A, B eta C argitaratzen dira. Egunkariak irakurtzeko probabilitateak, hurrenez hurren, hauek dira: P(A)=P(B)=0,1; P(C)=0,05; P(A ∩ B)=0,02; P(A ∩ C)=0,005; P(B ∩ C)=0,003 eta P(A ∩ B ∩ C)=0,0001. Zein da egunkari bat ere ez irakurtzeko probabilitatea.

Probabilitate baldintzatua

A eta B bi gertaera izanda, P(A/B) idazten da eta B-rekin baldintzaturiko A-ren probabilitatea deituko diogu. Hau da:

Bi gertaera, A eta B, askeak direla esaten da honakoa betetzen dutenean:

P[A/B] = P[A] eta P[B/A] = P[B]

Hau da, A eta B gertaera askeak izango dira P(A ∩ B) =P[A] . P[B]

Ariketak

 

1. Herri batean, biztanleen %40k ile beltza dauka, %25ek begi marroiak dauzkate eta %15e, begi marroiak eta ile beltza. Pertsona bat zoriz aukeratzen da.
   a) Ile beltza badauka, zer probabilitate dago begi marroiak izateko?
   b) Begiak marroiak badauzka, zer probabilitate dago ilea beltza izateko?
   c) Zer probabilitate dago begiak marroiak eta ilea beltza ez izateko?
2. Lantegi batean 200 langile daude, horietatik 120 gizonezkoak eta 80 emakumezkoak direlarik. Gizonezkoen artean erretzen ez dutenak 30 dira. Langile ez erretzaileak 80 dira. Langile bat zoriz aukeratzen da, kalkula ezazu honako gertaera hauen probabilitatea:
   a) Gizonezkoa izatekoa.
   b) Emakumezkoa izatekoa.
   c) Erretzen duen gizonezkoa izatekoa.
   d) Erretzen duen emakumezkoa izatekoa.
   e) Erretzen duen izatekoa.
   f) Erretzen ez duen gizonezkoa izatekoa.
   g) Erretzen ez duen emakumezkoa izatekoa.
   h) Erretzen ez duena izatekoa.
   i) Erretzaileen artean gizonezkoa izatekoa.
   j) Erretzaileen artean emakumezkoa izatekoa.
   k) Erretzen ez dutenen artean gizonezkoa izatekoa.
   l) Erretzen ez dutenen artean emakumezkoa izatekoa.
   m) Gizonezkoen artean erretzailea izatekoa.
   n) Emakumezkoen artean erretzailea izatekoa.
   o) Erretzaileen artean gizonezkoa izatekoa.
   p) Erretzaileen artean emakumezkoa izatekoa.
   Egin aurreko guztiaren azalpen grafiko bat.
3. Kirol-elkarte bateko bazkideen %30 igerilariak dira, %28 futbolariak eta %12k bi kiroletan ari direnak. Bazkide bat zoriz aukeratzen da, kalkulatu:
   a) Futbolaria dela jakinda, igerilaria dela izateko probabilitatea.
   b) Futbolaria ez dela jakinda, igerilaria izateko probabilitatea.
   c) Igerilaria dela jakinda, futbolaria ez izateko probabilitatea.

Esperimentu konposatuak

Esperimentu aleatorio konposatua deitzen zaio zenbait esperimentu aleatorio bakunek osatutakoari. Oro har, esperimentu konposatu bati probabilitate konposatu bat dagokio, eta berau -biderkaduraren probabilitatea ere deitua- honela adierazten da: P (A ∩ B). Probabilitate baldintzatuaren definizioaren arabera, menpeko bi esperimentu sinplek osatutako probabilitate konposatuaren balioa honela kalkulatzen da:

P(A ∩ B) = P(A) • P(B/A)

Bi proba edo gehiago askeak direla esaten da proba horietako bakoitzaren emaitzak eraginik ez duenean besteen emaitza posibleen probabilitateetan. Orduan,
P(A ∩ B) = P(A) • P(B)

1. Dado bat eta bi kutxa, A eta B, ditugu: kutxa bakoitzen bola beltz bat, hiru gorri eta 6 berde daudelarik. Dadoa bota dugu eta 1 edo 2 irteten bada, A kutxara joko dugu. 3, 4, 5 edo 6 irteten badira, B kutxara joko dugu. Dadoa bota eta bola bat dagokion kutxatik aterako dugu.
   a) Aurkitu P[{3,4,5,6} eta bola gorria
   b) Aurkitu P[bola berdea/1]
   c) Aurkitu P(bola gorria/5]
   d) Aurkitu P(2 eta bola berdea]
2. Etxe batean hiru giltza sorta daude, A, B eta C. Lehenengoak 5 giltza ditu, bigarrenak 7 eta hirugarrenak 8. Baina, sorta bakoitzeko giltza bakarrak irekitzen du kaleko atea. Giltza sorta bat zorian aukeratu eta bertatik giltza bat hartuko dugu kaleko atea irekitzen saiatzeko.
   a) Zer probabilitate dago giltza egokia aukeratzeko?
   b) Zer probabilitate dago hirugarren giltza sorta aukeratzeko eta hartutako giltza egokia ez izateko?
   c) Eta aukeratu den giltza egokia bada, zer probabilitate adago lehenengo giltza sortakoa, A, izateko?

Banaketa Binomiala

Zorizko esperientzia batean A gertaera bat nabarmentzen badugu eta arreta jartzen badiogu bakarrik A, ala bere aurkakoa A’ gertatuko den, orduan esperientzia dikotomikoa dela esaten da. Bere probabilitatea P[A]=p eta bere aurkakoarena P[A']=1-p=q izanik.
Esperientzia dikotomiko bat n aldiz errepikatzean, arrakasta kopurua x zein den galdetu dezakegu. x aldagaia diskretua da, bere balioak 0, 1, 2, …, n izanik.
x aldagaiaren probabilitatearen banaketari B(n, p) banaketa binomiala deitzen zaio.
Guzti horren ondorioz, x aldagaiak B(n, p) banaketa jarraitzen badu, k arrakasta lortzeko probabilitatea ondoak ematen digu:

Banaketa binomialaren parametroak hauek dira:

• Batez bestekoa:
• Bariantza:
• Desbideratze tipikoa:

Ariketak

1. Makina batek disketeak egiten ditu. %5 akastunak direla frogatu da. 10 diskete hartzen ditugu eta akastunak zenbat izan daitezkeen jakin nahi da.
   a) Nolakoa da banaketa? Zergatik?
   b) Kalkulatu batez bestekoa eta desbideratze tipikoa. (0,5 eta 0,689)
   c) kalkulatu P[x=0]; P[x>0] eta P[x=2] (0,598; 0,402 eta 0,074)
2. Test erako azterketa batek 10 galdera ditu, galdera bakoitzak lau erantzun eta erantzun bakarra da zuzena. Ikasle batek zorian erantzuten badu:
   a) Zein probabilitate dago 4 galderari ondo erantzuteko? (0,146)
   b) Eta 2 galdera baino gehiagori ondo erantzuteko? (0,474)
   c) Kalkulatu galdera guztiei txarto erantzuteko dagoen probabilitatea. (0,056)

Banaketa Normala

Estatistikan eta probabilitateen teorian gehien agertzen den probabilitate banaketari, banaketa normala esaten zaio. Guzti hori bi arrazoi gaitik ematen da:
* Banaketa normalaren dentsitate funtzioa simetrikoa da eta, adierazpen grafikoa, kanpai itzurakoa eta, honek errasten du bere aplikazioa beste aldagai estatistiko askotara.
* Beste banaketa askoren limitea da eta probabilitate teoriari lotutako emaitza askorekin erlazionatuta aurkitzen da.
Banaketa normalaren dentsitate funtzioak, Gauss kanpai ezaguna zehazten duen ekuazioa jarraitzen du,

Integralen bitartez banaketa normalari loturiko probabilitateen kalkulua, orokorrean, konplexua gertatzen da. Horregatik, laguntzazko banaketa-funtzioa erabili izaten da, zeinen batezbestekoa 0 baita eta zeinen desbiderazio tipikoa unitatea baita.
N(0, 1) banaketan, aldagaia adierazteko z letra erabiltzen da.
P[z ≤ k] banatzen da N(0, 1)
Gogoratu aldagai jarraituko banaketa batean probabilitate puntualak nuluak direla: P[x=k]=0; hau da, P[x ≤ k]=P[x<k]Aldagaiaren tipifikazioa. X aldagai aleatoriotik Z banaketa tipifikatuko aldagaira aldatzean datzan eragiketari tipifikazioa deitzen zaio. x baldin bada , orduan aldagaiaren tipifikazioa egin behar da. Ondorengo espresioaren bidez egiten da:

Banaketa binomiala normalera hurbiltzea.
Batzutan, B (n, p) motako banaketa binomialaren aukeraren kalkulua oso konplikatua gertatzen da.
B (n, p) banaketa binomiala, N (np, ) banaketa normalera hurbil daiteke n-ren balioa oso handia bada eta n.p ≥5 eta n.q ≥ 5 badira

Ariketak

1. Herri bateko biztanleen altuerak modu normalean banatu ditugu, batez bestekoa 175 cm-koa eta besbidazio estandarra 10 cm-koa izanik. Kalkulatu zein probabilitate dagoen:
   a) Biztanle baten altuera 180 cm-tik gorakoa izateko. (0,3085)
   b) Biztanle baten altuera 170 cm-tik beherakoa izateko. (0,3085)
   c) Biztanteen zein proportziok izango du 170 eta 180 cm arteko altuera? (%38,3)
2. Kalkulatu zein probabilitate dagoen txanpon bat 100 aldiz bota eta busti kopurua 45 eta 55 artekoa izateko. (0,7286)
3. Txanpon bat 400 aldiz jaurti da. Kalkulatu zein probabilitate dagoen busti kopurua:
   a) 200etik gorakoa izateko. (0,4801)
   b) 180 eta 220 artekoa izateko. (0,9488)